فیبوناچی و نسبت طلایی

همان طور که گفته شد یک دوره کامل، شامل ۸موج است که ۵موج آن از نوع ضربه اي و ۳موج آن از نوع تصحیحی می باشد و اگر هرکدام از این موج ها را به درجه کوچک تر تقسیم کنیم، مجموعا ۳۴موج و درصورت تقسیم دوباره، به عدد ۱۴۴موج می رسیم. تمام این اعداد بیان شده ( ۱۴۴ ،۳۴ ،۸ ،۵ ،۳) همه از سري فیبوناچی می باشند. از دیگر کاربردهاي سري فیبوناچی می توان به زیر اشاره کرد:

آیا می دانید

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد. اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی ( The Divine Proportion ) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.

نسبت طلایی در ایران

برج و میدان فیبوناچی و نسبت طلایی آزادی :طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۵/۱=۴۲ : ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشدسبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه :خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است.می دانیم۶/۱=۵/۲ : ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه :به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست.اعداد۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۶/۱=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت "داریوش"۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر)بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند پل ورسک در مازندران:این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد.بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۶/۱ = ۶۶ : ۱۱۰ ).

مقبره ابن سینا :آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور(مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده اند .سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است.ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۶/۱=۹/۱ : ۲/۳ )در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب فیبوناچی و نسبت طلایی که تالار سخنرانی و اجتماعات است.و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است.طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر وعرض آن ۷۵/۵ متر است(۶/۱=۷۵/۵ : ۴۵/۹ )

ارگ بم :این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده است. این دﮋ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد . (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

میدان نقش جهان و مسجد لطف الله :در کتب اخیر، نویسنده جیسون الیوت بر این باور است که نسبت طلایی توسط طراحان میدان نقش جهان و در مجاورت مسجد لطف الله مورد استفاده قرار گرفته است

عدد في و معماري اسلامي

گفته میشود که : "اگر فاصله کعبه را در شهر مکه تا قطب شمال و جنوب اندازه گرفته و به هم تقسیم کنید عدد فی بدست خواهد آمد.برای اطمینان می توانید از نرم افزار Google Earth استفاده کنید و به این حقیقت دست یابید." کعبه در لتیتودِ ۲۱.۴۲۲۴۹۴۵ می‌باشد که به تناسبِ (90-21.4224945)/(90+21.4224945) برابر با 1.62476739 می‌باشد که با عددِ فی تطابق دارد.

تاكنون نه تنها در كتاب رمز داوینچی بلکه پیام‌ها، اسرار مذهبی و كهن در دیوارهای زیارتگاه‌های اسلامی به صورت رمز قرار مشاهده شده است.بسیاری از كاشیكاری‌های بناهای فیبوناچی و نسبت طلایی اسلامی متعلق به ‪ ۵۰۰‬سال پیش توانسته‌اند الگوهای فراوان ریاضی پیدا كنند كه تا دهه ‪۱۹۷۰‬ برای غربی‌ها ناشناخته بوده است.اساس یک طراحی هندسی برای نشان دادن یک نماد از علم " ماندالا" است که به عقیده بسیاری از ملت شرق به تعمق و اندیشه کمک می کند خلق بسیاری از نامحدود ها با استفاده از مثلث و مستطیل طلایی از این گونه است

كیث كریچلو" ‪ keith Critchlow‬نویسنده كتاب "الگوهای ریاضی اسلامی" چنین ادعا می کند: ما دریافته‌ایم كه اسلام در دوره قرون وسطی تا چه اندازه پیشرفته بوده است. نام این الگوهای ریاضی پیچیده در آن دوران "شیمی بیضی متقارن ممنوعه" می‌نامند.آنها از الگوی كاشی‌های هرمی برخوردارند و با چرخش یك سوم در آن قابل شناسایی هستند.همین قانون برای كاشی‌های مستطیلی نیز پیروی میكند كه با چرخش یك چهارم قابل شناسایی هستند ما برای كاشی‌های شش گوش چرخش یك ششم لازم است. اما این شبكه‌ها بدون وجود پنج‌ظلعی‌ها كامل نمی‌شوند و بدون رعایت فاصله میان آنها در كنار هم جفت نمی‌شوند و نمی‌توان آنها را با با چرخش یك پنجم در كنار هم قرار داد.آقای لو توانست در دیوار یكی از زیارتگاه‌های ایران دو نوع از این كاشیكاری‌ها بزرگ را كه با كاشی‌های هم‌شكل ساخته شده بود، كشف كند به گونه‌ای كه ظاهرا از نسبت طلایی فیثاغورثی تبعیت میكردند.كریچلو در این‌باره می‌گوید:سازندگان بنا بطور حتم از این نسبت خبر داشتند.

در سال ‪ ۱۹۷۳‬سر "راجر پنروس" ‪ Roger Penrose‬ریاضی‌دان برجسته غربی توانست با در نظر گرفتن این پنج‌ظلعی‌ها الگویی پنج تایی با شكلی بسازد كه از آن به عنوان كیت و یا دارت نام برده می‌شود. او نخستین غربی بود كه این حساب را كشف كرد و در آن زمان گمان میكرد نخستین كسی است به این موضوع پی برده‌است.خلاقیت وی به خلق خواص ریاضیاتی منجر شد هر دسته می‌تواند حاوی تعداد مشخصی‌از كیت‌ها و دارت‌هایی باشد كه می‌توانند تا بی‌نهایت و بدون تكرارپذیری الگوهای كوچكتری از كیتها و دارت‌ها بسازند.هر چقدر تعداد این اشكال ریز افزایش پیدا كند آنگاه نسبت كیت‌ها به دارت‌ها به نسبتی موسوم به "نسبت طلایی" می‌رسد.

"گلرو نجیب اوغلو" ‪ Gulru Nacipoglu‬یكی از اساتید دانشگاه هاروارد می‌گوید:خلقت انسان مشابه هم است و شكل مشخصی دارد كه از عجایب خلقت خداوندی است این كه این الگوها به كجا ختم می‌شوند و به صورت هوشمندانه‌ای در درها و پنجره‌ها به كار رفته‌اند مسئله‌ای است كه نمی‌توان مشخص كرد.به گفته وی، با وجود این كه الگوی پنروس به قرن ‪ ۱۴‬یا ‪ ۱۵‬بازمی‌گردد اما این اشكال كاشیكاری در دنیای اسلام از صدها سال قبل از آن به كار گرفته شده است. در منبتكاری‌های ایران در قرن پانزدهم و اوایل شانزدهم فهرستی از بسیاری از این طرح‌ها قرار دارند كه ممكن است سرنخی برای شكوه ریاضیات اسلامی در مساجد ایران و تركیه و مدارس بغداد و زیارتگاه‌های هند و افغانستان باشد.دانشمندان اكنون می‌دانند كه مسلمانان در آن دوران می‌توانستند معادلات جبری به توان ‪ ۳‬و فراتر از آن را حل كنند معادلاتی كه بسیار دشوارتر از معادله دو مجهولی است و اساس جبر به شمار می‌رود. مسلمانان همچنین دارای حسابگرهای مكانیكی بودند و در علم داروشناسی و ستاره شناسی پیشرفته‌تر از اروپایی‌ها بوده‌اند اما با این حال جای تاسف است كه تعداد اندكی از این دانشمندان درباره یافته‌های خود كتاب و یا اثر به رشته تحریر درآورده‌اند".

ترسیم

برای رسم کردن مستطیل طلایی ابتدا مربع ABCD با استفاده از ضلع کوچک رسم می‌شود. سپس ضلع AB را نصف کرده، از وسط آن (نقطه G) با پرگار یک قوس به شعاع GC ترسیم کرده و ضلع بزرگ مستطیل (AE) را به دست می‌آورند.با توجه به شکل ترسیم شده، نصف طول این ضلع برابر نسبت طلایی است

محاسبات

برای بدست آوردن نسبت طلائی از تعریف هندسی آن استفاده می‌کنیم:

از این معادله که تعریف عدد است، که از معادله سمت راست می‌توان نتیجه گرفت: ، پس خواهیم داشت:

دنیای خوشنویسی

یکی از نسبت­ های بین اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد “نسبت طلایی” یا Golden Ratio نام دارد.
پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید طوری به دو قطعه تقسیم شده است که نسبت قطعه بزرگ به کوچک، معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به عبارت دیگر، طول قطعه بزرگتر واسطه هندسی طول قطعه کوچکتر و طول کل پاره خط باشد. با یک محاسبه ساده می توان نشان داد که این نسبت معادل 1.61803399 یا تقریبا” 1.618 بدست می آید فیبوناچی و نسبت طلایی که همان نسبت طلایی است.
شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی آثار خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت فیبوناچی و نسبت طلایی انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد . برای مثال در لاله گوش انسان ها نسبت طلایی رعایت شده است.

آشنایی با سری فیبوناچی

باورکردنی نیست اما در سال 1202 لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها به عنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :

البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, …

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179, …

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

نسبت طلایی در خوشنویسی

استاد میرعماد با پالایش خطوط پیشینیان و زدودن اضافات و ناخالصی‌ها از پیکره نستعلیق و نزدیک کردن شگرف نسبت‌های اجزای حروف و کلمات، به اعلا درجه زیبایی یعنی نسبت طلایی رسید و قدمی اساسی در اعتلای هنر نستعلیق برداشت. با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه مبنای ترسیم مستطیل طلایی (مستطیلی که نسبت طول به عرض آن طلایی است) در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین کننده دارد. این مهم قطعاً در سایه شعور و حس زیبایی‌شناسی وی حاصل آمده، نه آگاهی از فرمول تقسیم طلایی از دیدگاه هندسی و علوم ریاضی. میرعماد این نسبت‌ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت می‌‌کرده است.